Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares

Nos capítulos anteriores, introduzimos os sistemas como entidades que transformam entradas em saídas, vimos o circuito RC como exemplo de modelagem matemática, e classificamos sistemas em oito categorias. Agora chegamos ao primeiro método formal de análise de sistemas: o domínio do tempo. Nosso foco são os sistemas lineares contínuos e invariantes no tempo (LCIT), também chamados de sistemas LIT contínuos. Aprenderemos a calcular a resposta completa de um sistema a qualquer entrada, decompondo-a em duas componentes: a resposta de entrada nula e a resposta de estado nulo.

Os Dois Métodos de Análise de Sistemas LIT

Existem dois grandes métodos para analisar sistemas LIT:

Neste capítulo, focaremos integralmente no domínio do tempo. O domínio da frequência (Transformada de Fourier, Laplace) será o tema de módulos futuros.

Por que estudar domínio do tempo primeiro? Porque ele conecta diretamente à física do sistema (EDOs) e revela a estrutura da solução de forma intuitiva. A compreensão da resposta natural e forçada no tempo é o alicerce para entender filtros, estabilidade e resposta em frequência.

A Equação Diferencial do Sistema LCIT

Um sistema linear contínuo invariante no tempo (LCIT) de ordem n é descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes:

aₙ · y^(n)(t) + aₙ₋₁ · y^(n−1)(t) + ... + a₁ · ẏ(t) + a₀ · y(t) = bₘ · x^(m)(t) + ... + b₁ · ẋ(t) + b₀ · x(t)

onde y^(k)(t) denota a k-ésima derivada de y, e os coeficientes a₀, ..., aₙ e b₀, ..., bₘ são constantes reais (daí "invariante no tempo").

Para o circuito RC de primeira ordem (n = 1):

• a₁ = RC, a₀ = 1, b₀ = 1, m = 0
• EDO: RC · ẏ(t) + y(t) = x(t)

A Propriedade de Decomposição

A propriedade central que nos permite dividir o problema em partes menores é a propriedade de decomposição, que decorre diretamente da linearidade:

Resposta Total = Resposta de Entrada Nula + Resposta de Estado Nulo y(t) = y_zi(t) + y_zs(t)

• y_zi(t) (zero-input response): resposta quando a entrada é zero x(t) = 0, mas as condições iniciais y(0), ẏ(0), ..., y^(n−1)(0) são não-nulas. Depende apenas do sistema e das condições iniciais.
• y_zs(t) (zero-state response): resposta quando as condições iniciais são todas zero, mas a entrada x(t) é aplicada. Depende do sistema e da entrada.

Essa decomposição é extremamente poderosa porque:

1. Permite resolver dois problemas mais simples separadamente
2. y_zi não depende de x(t) e y_zs não depende das condições iniciais
3. A superposição garante que a soma é a resposta correta

Calculando a Resposta de Entrada Nula y_zi(t)

Com x(t) = 0, a EDO torna-se a equação homogênea:

aₙ · y^(n) + aₙ₋₁ · y^(n−1) + ... + a₀ · y = 0

A solução dessa equação tem a forma y = e^(λt). Substituindo:

aₙλⁿ + aₙ₋₁λⁿ⁻¹ + ... + a₁λ + a₀ = 0 — equação característica

As raízes λ₁, λ₂, ..., λₙ são as frequências naturais (ou modos) do sistema. Para cada raiz λᵢ:

Os três casos são:

• λᵢ real negativo (σ < 0): modo amortecido e^(σt) — sistema estável, decai para zero
• λᵢ imaginário puro (σ = 0, λ = jω): oscilação cos(ωt) sem amortecimento — limítrofe
• λᵢ real positivo ou complexo com σ > 0: modo crescente — sistema instável

Para raízes distintas, a resposta de entrada nula é:

y_zi(t) = c₁e^(λ₁t) + c₂e^(λ₂t) + ... + cₙe^(λₙt)

Os coeficientes c₁, ..., cₙ são determinados pelas condições iniciais y(0), ẏ(0), ..., y^(n−1)(0).

Calculando a Resposta de Estado Nulo y_zs(t)

Com condições iniciais nulas, a resposta ao estado nulo envolve a resposta ao impulso h(t) do sistema — a saída quando a entrada é δ(t) com condições iniciais zero.

Para sistemas LIT, a resposta de estado nulo é dada pela integral de convolução:

y_zs(t) = ∫₋∞^(+∞) x(τ) · h(t − τ) dτ = x(t) ∗ h(t)

O processo de convolução pode ser visualizado em três passos:

1. Flip: inverter h(τ) → h(−τ)
2. Shift: deslocar por t → h(t − τ)
3. Integrate: calcular a área do produto x(τ) · h(t − τ)

Significado: a integral de convolução representa a "memória" do sistema. Cada impulso de x(τ) em τ gera uma resposta h(t − τ) no sistema. A saída total é a superposição (integral) de todas essas respostas elementares.

O Fluxo Completo de Análise LCIT

O procedimento sistemático para qualquer sistema LCIT é:

1. Identificar a EDO: aₙy^(n) + ... + a₀y = bₘx^(m) + ... + b₀x
2. Encontrar as raízes: resolver aₙλⁿ + ... + a₀ = 0 → λ₁, ..., λₙ
3. Calcular y_zi: usar as raízes e as condições iniciais para determinar c₁, ..., cₙ
4. Calcular y_zs: convolucionar x(t) com h(t)
5. Resposta total: y(t) = y_zi(t) + y_zs(t)

Exemplo Completo: Circuito RC com Entrada Degrau

Para o circuito RC com EDO: ẏ + (1/τ)y = (1/τ)x, onde τ = RC:

Equação característica: λ + 1/τ = 0 → λ = −1/τ

Resposta de entrada nula (cond. inicial y(0) = y₀):

y_zi(t) = y₀ · e^(−t/τ)

Resposta de estado nulo para x(t) = u(t):

A resposta ao impulso é h(t) = (1/τ)e^(−t/τ)u(t). Convoluindo com u(t):

y_zs(t) = (1 − e^(−t/τ)) · u(t)

Resposta total:

y(t) = y₀ · e^(−t/τ) + (1 − e^(−t/τ)) = 1 + (y₀ − 1) · e^(−t/τ)

Para t → ∞: y(∞) = 1 (regime permanente). Para t = 0: y(0) = y₀ (condição inicial). ✓

Resumo da Aula

Neste capítulo, estudamos a análise no domínio do tempo de sistemas LCIT:

• Dois métodos: domínio do tempo (EDOs, convolução) e domínio da frequência (Fourier/Laplace). Este capítulo cobre o domínio do tempo.
• EDO de sistema LCIT: aₙy^(n) + ... + a₀y = bₘx^(m) + ... + b₀x. Coeficientes constantes determinam "invariante no tempo"; estrutura linear determina "linear".
• Decomposição y = y_zi + y_zs: propriedade fundamental da linearidade. Entrada nula usa cond. iniciais com x=0; estado nulo usa x(t) com cond. iniciais zero.
• y_zi(t): obtida pela equação característica. Raízes λᵢ são as frequências naturais. σ < 0: estável; σ ≥ 0: instável/limítrofe.
• Modos característicos: e^(λt) para raízes simples; tᵏe^(λt) para raízes repetidas. Determinam a "personalidade" do sistema.
• y_zs(t) = x(t) ∗ h(t): integral de convolução. h(t) é a resposta ao impulso — a "impressão digital" do sistema LIT.
• Fluxo LCIT: EDO → equação característica → y_zi (cond. iniciais) + y_zs (convolução) → y total.