Modelos Úteis de Sinais
No capítulo anterior, classificamos os sinais em categorias como contínuos/discretos, periódicos/aperiódicos, de energia/potência e determinísticos/aleatórios. Agora apresentaremos as funções-modelo mais utilizadas em sinais e sistemas: o degrau unitário u(t) e o impulso unitário δ(t). Esses dois modelos não são apenas exemplos acadêmicos — são as peças fundamentais com as quais qualquer sinal pode ser descrito, qualquer sistema pode ser analisado, e sobre as quais toda a teoria de sistemas lineares é construída.
A Função Degrau Unitário u(t)
Definição e Representação
A função degrau unitário (unit step function), denotada por u(t), é definida por:
u(t) = 1 para t ≥ 0 u(t) = 0 para t < 0
É uma função descontínua no instante t = 0: ela salta abruptamente de 0 para 1. Fisicamente, representa o ato de "ligar" algo em t = 0 — como conectar uma bateria a um circuito, abrir uma válvula ou iniciar uma transmissão.
Observe na visualização o círculo aberto em (0, 0) e o círculo fechado em (0, 1), indicando a descontinuidade: o valor em exatamente t = 0 é convencionalmente definido como 1 (pela semissoma: u(0) = [u(0⁺) + u(0⁻)]/2 = 1/2 em algumas definições, mas a convenção mais comum em engenharia é u(0) = 1).
Deslocamento do Degrau
Assim como qualquer outro sinal, o degrau pode ser deslocado no tempo usando as operações do capítulo anterior:
- u(t − t₀): degrau que sobe em t = t₀ (sinal "liga" em t = t₀)
- u(−t): degrau espelhado — vale 1 para t ≤ 0 e 0 para t > 0
- −u(t − t₀): degrau negativo que "desce" em t = t₀
Construção de Sinais Causais e Pulsos Retangulares
A aplicação mais imediata do degrau unitário é "ligar" e "desligar" outros sinais, criando versões causais e pulsos.
Um sinal causal (causal signal) é aquele que vale zero para t < 0. Para tornar qualquer sinal x(t) causal, basta multiplicá-lo por u(t):
y(t) = x(t) · u(t) → y(t) = x(t) para t ≥ 0 e y(t) = 0 para t < 0
Um pulso retangular de duração τ pode ser construído como a diferença de dois degraus:
p(t) = u(t) − u(t − τ) → vale 1 para 0 ≤ t < τ e 0 fora desse intervalo
Na visualização, veja como somar u(t) com −u(t − 4) produz exatamente um pulso retangular de duração 4. Esse é o princípio da construção por degraus: qualquer sinal com transições abruptas pode ser escrito como combinação de degraus deslocados.
| Expressão | Sinal Resultante | Aplicação |
|---|---|---|
| x(t) · u(t) | Versão causal de x(t) | Tornar um sinal zero para t < 0 |
| u(t) − u(t − τ) | Pulso retangular em [0, τ] | Janela de análise, pulso de radar |
| u(t − a) − u(t − b) | Pulso retangular em [a, b] | Pulso em intervalo arbitrário |
| A · u(t − t₀) | Degrau de amplitude A em t₀ | Modelar ativação de uma fonte |
| x(t) · [u(t − a) − u(t − b)] | Trecho de x(t) entre a e b | Extração de um intervalo do sinal |
Por que u(t) é tão importante? Porque a resposta ao degrau de um sistema linear revela completamente seu comportamento — se soubermos como o sistema responde a u(t), podemos calcular a resposta a qualquer entrada usando derivação e integração.
A Função Impulso Unitário δ(t)
Definição Intuitiva e Formal
A função impulso unitário (unit impulse function ou distribuição de Dirac), denotada por δ(t), é o modelo de um evento de duração infinitamente curta e amplitude infinitamente grande, mas com área unitária. Ela é definida pelas propriedades:
∫₋∞^(+∞) δ(t) dt = 1 (área total igual a 1) δ(t) = 0 para todo t ≠ 0 (zero em qualquer instante exceto na origem)
Matematicamente, δ(t) não é uma função clássica — é uma distribuição (ou funcional linear) no sentido da teoria de distribuições de Schwartz. Na prática de engenharia, trabalhamos com ela por meio de suas propriedades, não pela avaliação pontual.
Uma forma de visualizar δ(t) é como o limite de pulsos retangulares de largura Δ e altura 1/Δ conforme Δ → 0:
Observe como, à medida que o pulso fica mais estreito, ele fica mais alto — mas a área (largura × altura = Δ × 1/Δ = 1) permanece sempre igual a 1. No limite, a largura vai a zero e a altura vai a infinito: esse é o impulso de Dirac.
Representação Gráfica
Por convenção, δ(t) é representado graficamente por uma seta vertical na origem, com o número 1 ao lado indicando que sua área é 1. Um impulso deslocado δ(t − t₀) é uma seta em t = t₀. Um impulso de área k, escrito como k·δ(t), é representado com o número k ao lado da seta.
Propriedade de Multiplicação
Quando um sinal x(t) é multiplicado por δ(t), o resultado é um impulso na origem com área igual ao valor de x(t) em t = 0:
x(t) · δ(t) = x(0) · δ(t)
De forma mais geral, para um impulso deslocado:
x(t) · δ(t − t₀) = x(t₀) · δ(t − t₀)
O impulso "captura" o valor de x(t) no instante t₀ e multiplica esse escalar pela função δ. Qualquer variação de x(t) em torno de t₀ é irrelevante, pois δ é zero em todos os outros instantes.
Propriedade de Amostragem (Sifting Property)
A propriedade mais importante do impulso é a propriedade de amostragem (sifting property):
∫₋∞^(+∞) x(t) · δ(t − t₀) dt = x(t₀)
A integração de x(t) multiplicado por um impulso em t₀ extrai (sifts out) o valor de x(t) exatamente em t₀. Isso é fundamental porque:
- Permite amostrar um sinal contínuo em um instante específico
- Serve como base para a representação de sinais contínuos como superposição de impulsos
- É a ferramenta central para analisar sistemas lineares por meio de sua resposta ao impulso
Acompanhe na visualização como o impulso δ(t − t₀) "lê" o valor de x(t) no instante t₀ enquanto t₀ varia. O resultado da integral é sempre exatamente x(t₀) — o impulso funciona como um "amostrador perfeito".
| Propriedade | Expressão Matemática | Interpretação |
|---|---|---|
| Área unitária | ∫ δ(t) dt = 1 | A 'energia' concentrada em t = 0 é 1 |
| Suporte pontual | δ(t) = 0, t ≠ 0 | Nulo em todo instante exceto a origem |
| Multiplicação | x(t) · δ(t − t₀) = x(t₀) · δ(t − t₀) | Isola o valor de x no ponto t₀ |
| Amostragem | ∫ x(t) · δ(t − t₀) dt = x(t₀) | Extrai o valor de x em t₀ |
| Simetria | δ(t) = δ(−t) | O impulso é uma função par |
| Escala | δ(at) = δ(t)/|a| | Compressão/expansão do impulso |
Degrau e Impulso Deslocados
Tanto o degrau quanto o impulso podem ser deslocados para qualquer instante t₀, usando a substituição t → t − t₀:
Na visualização, observe três exemplos:
- u(t − 2): o degrau "liga" em t = 2 (zero antes, um depois)
- δ(t − 3): impulso na posição t = 3 com área unitária
- u(t − 1) − u(t − 5): pulso retangular entre t = 1 e t = 5
| Expressão | Descrição | Valor em t < t₀ | Valor em t ≥ t₀ |
|---|---|---|---|
| u(t − t₀) | Degrau deslocado | 0 | 1 |
| −u(t − t₀) | Degrau negativo deslocado | 0 | −1 |
| δ(t − t₀) | Impulso deslocado | 0 | ∞ (área = 1) apenas em t₀ |
| u(t − a) − u(t − b) | Pulso retangular em [a, b] | 0 | 1 se a ≤ t < b, senão 0 |
Relação entre δ(t) e u(t)
O impulso e o degrau não são independentes — eles formam um par diferencial/integral:
δ(t) = du(t)/dt (o impulso é a derivada do degrau) u(t) = ∫₋∞^t δ(τ) dτ (o degrau é a integral acumulada do impulso)
A derivada formal de u(t) em t = 0 é "infinita" na perspectiva clássica (descontinuidade de salto unitário em largura zero), o que é exatamente a definição de δ(t). Na direção oposta, a integral do impulso de −∞ até t é zero para t < 0 e 1 para t ≥ 0 — exatamente u(t).
Essa relação é mais do que um exercício matemático: em circuitos, se u(t) representa a tensão em degrau aplicada a um capacitor, então δ(t) representa a corrente impulsiva que carrega o capacitor instantaneamente. Em sistemas mecânicos, u(t) representa uma força degrau e δ(t) representa um impacto instantâneo.
| Operação | Sentido | Expressão |
|---|---|---|
| Derivação | δ(t) é a derivada de u(t) | δ(t) = du(t)/dt |
| Integração | u(t) é a integral de δ(t) | u(t) = ∫₋∞^t δ(τ) dτ |
| Diferença finita (discreto) | δ[n] é a diferença de u[n] | δ[n] = u[n] − u[n−1] |
| Soma acumulada (discreto) | u[n] é a soma de δ[n] | u[n] = Σₖ₌₋∞ⁿ δ[k] |
Resumo da Aula
Neste capítulo, estudamos os dois modelos de sinal mais fundamentais da disciplina:
- Degrau unitário u(t): vale 0 para t < 0 e 1 para t ≥ 0. Representa o "ligar" de um sinal. Deslocado como u(t − t₀), permite construir sinais causais e pulsos retangulares pela fórmula u(t − a) − u(t − b).
- Pulsos retangulares por degraus: qualquer sinal com ativação/desativação em instantes definidos pode ser escrito como combinação de degraus deslocados, tornando a descrição matemática sistemática.
- Impulso unitário δ(t): distribuição de Dirac com área unitária e suporte pontual em t = 0. Definido por suas propriedades: ∫δ(t)dt = 1 e δ(t) = 0 para t ≠ 0.
- Propriedade de multiplicação: x(t)·δ(t − t₀) = x(t₀)·δ(t − t₀). O impulso isola o valor de x no ponto t₀.
- Propriedade de amostragem: ∫ x(t)·δ(t − t₀) dt = x(t₀). Essa propriedade é a base do processamento de sinais: o impulso "captura" o valor do sinal em qualquer instante desejado.
- Relação δ(t) ↔ u(t): δ(t) = du(t)/dt e u(t) = ∫₋∞^t δ(τ)dτ. Derivada e integral são operações inversas que conectam os dois modelos fundamentais.