Funções Trigonométricas e Inversas

Um motor elétrico que gira cria uma oscilação senoidal na voltagem de saída. As asas de um avião vibram seguindo padrões sinusoidais. As ondas de rádio são construídas com senos e cossenos. A posição de um pêndulo segue uma função seno ao longo do tempo. Na engenharia, praticamente tudo que oscila, vibra ou gira pode ser descrito com funções trigonométricas.

Neste capítulo, vamos rever (e aprofundar) seno, cosseno e tangente, entender seus períodos e amplitudes, descobrir as funções trigonométricas inversas, e aprender como compor funções para criar modelos ainda mais sofisticados.

Objetivos de Aprendizado

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

• Reconhecer funções trigonométricas em modelos de movimento periódico e oscilação
• Determinar amplitude, período, fase e deslocamento vertical a partir de uma fórmula
• Esboçar gráficos de seno, cosseno e tangente com transformações
• Aplicar funções trigonométricas inversas (arcsin, arccos, arctan) para resolver problemas
• Compor funções — f(g(x)) — e entender por que isso importa
• Modelar fenômenos cíclicos com funções trigonométricas

Revisão Rápida: Definições em um Triângulo Retângulo

Para um ângulo θ em um triângulo retângulo:

$\sin(\theta) = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos(\theta) = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}, \quad \tan(\theta) = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}$

Mas para o cálculo, vamos pensar em radianos e entender essas funções no círculo unitário — um círculo de raio 1 centrado na origem.

O Círculo Unitário

Um ponto P sobre o círculo unitário, a um ângulo θ do eixo x positivo, tem coordenadas:

$P = (\cos(\theta), \sin(\theta))$

Conforme θ varia de 0 a 2π radianos (uma volta completa):

• O seno oscila entre -1 e 1
• O cosseno oscila entre -1 e 1
• Ambos completam um ciclo

Funções Seno e Cosseno

A forma geral de uma função senoidal é:

$f(x) = A \sin(B(x - C)) + D$

ou com cosseno:

$f(x) = A \cos(B(x - C)) + D$

Cada parâmetro tem um significado:

• A: Amplitude — metade da distância entre o máximo e mínimo

  • |A| = máximo - metade da variação total
  • Se A < 0: função é refletida verticalmente

• B: Afeta o período

  • Período = 2π/|B|
  • Se B > 1: ciclo mais rápido
  • Se 0 < B < 1: ciclo mais lento

• C: Deslocamento de fase (horizontal)

  • Nega-se: se está (x - C), a função se move C para a direita
  • Se está (x + C), a função se move C para a esquerda

• D: Deslocamento vertical

  • Eixo de oscilação sai de y = 0 e vai para y = D
  • Máximo: D + |A|
  • Mínimo: D - |A|

Exemplo 1: Movimento de Um Pêndulo

Um pêndulo oscila com comprimento L = 1 metro. O deslocamento angular θ(t) (em radianos) é:

$\theta(t) = 0,5 \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} t\right)$

onde g ≈ 9,8 m/s².

• Amplitude: 0,5 radianos
• Período: $\frac{2\pi}{\sqrt{g/L}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9,8}} \approx 2,0$ segundos
• Significado: A cada 2 segundos, o pêndulo volta à mesma posição
• Deslocamento: Máximo +0,5 rad, mínimo -0,5 rad (oscila simetricamente)

Exemplo 2: Voltagem em Circuito AC

A voltagem em uma tomada residencial (110V, 60 Hz) é:

$V(t) = 155 \sin(2\pi \cdot 60 \cdot t) = 155 \sin(120\pi t)$

• Amplitude: 155 V (pico)
• Frequência: 60 Hz (ciclos por segundo)
• Período: 1/60 ≈ 0,0167 segundos
• RMS (efetivo): 110 V ≈ 155/√2 (isso é o que a tomada "realmente fornece")

A função sem deslocamento D porque oscila simetricamente em torno de 0V.

Exemplo 3: Temperatura Semanal

A temperatura média diária em uma cidade durante o ano segue aproximadamente:

$T(t) = 20 + 10 \sin\left(\frac{2\pi(t - 80)}{365}\right)$

onde t é o dia do ano (1 a 365).

• Deslocamento vertical (D = 20): Temperatura média é 20°C
• Amplitude (A = 10): Varia 10°C acima e abaixo da média
• Máxima: 20 + 10 = 30°C
• Mínima: 20 - 10 = 10°C
• Período (2π/B): 365 dias (um ano)
• Deslocamento de fase (C = 80): Pico em dia 80 (aproximadamente 21 de março, primavera no hemisfério norte)

Função Tangente

A tangente é definida como:

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Características principais:

• Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{\pi/2 + k\pi\}$ — todos exceto onde cos(x) = 0
• Período: π (não 2π como seno/cosseno!)
• Assíntotas verticais: em x = π/2 + kπ
• Passa pela origem: tan(0) = 0
• Crescente em cada intervalo entre assíntotas

A tangente é especialmente útil para ângulos (inclinação) e taxas de mudança.

Exemplo 4: Inclinação de Uma Rampa

Se uma rampa faz ângulo θ com a horizontal:

$\text{inclinação} = \tan(\theta)$

• θ = 0°: tan(0) = 0 (horizontal, sem inclinação)
• θ = 45°: tan(π/4) = 1 (elevação = afastamento)
• θ = 30°: tan(π/6) ≈ 0,577 (sobe 1 a cada ~1,73 afastamentos)
• θ → 90°: tan(θ) → ∞ (fica vertical)

Funções Trigonométricas Inversas

As funções trigonométricas inversas respondem: "Qual ângulo produz este seno/cosseno/tangente?"

arcsin (ou sin⁻¹)

$y = \arcsin(x) \iff \sin(y) = x$

• Domínio: [-1, 1]
• Imagem: [-π/2, π/2]
• Exemplo: arcsin(0,5) = π/6 (30°) porque sin(π/6) = 0,5

arccos (ou cos⁻¹)

$y = \arccos(x) \iff \cos(y) = x$

• Domínio: [-1, 1]
• Imagem: [0, π]
• Exemplo: arccos(0,5) = π/3 (60°) porque cos(π/3) = 0,5

arctan (ou tan⁻¹)

$y = \arctan(x) \iff \tan(y) = x$

• Domínio: ℝ
• Imagem: (-π/2, π/2)
• Exemplo: arctan(1) = π/4 (45°) porque tan(π/4) = 1
• Assíntotas horizontais: y = ±π/2

Exemplo 5: Encontrando o Ângulo

Um engenheiro observa que um sinal tem amplitude 10 V e defasagem de 3 V positivos em relação ao esperado. Qual é o deslocamento de fase?

Se o sinal esperado é $s(t) = 10\sin(t)$ mas você mede $s(t) = 10\sin(t - \phi) + 3$:

$3 = 10\sin(-\phi)$ $\sin(-\phi) = 0,3$ $-\phi = \arcsin(0,3) \approx 0,3047 \text{ rad}$ $\phi \approx -0,3047 \text{ rad} \approx -17,5°$

O sinal está adiantado em 17,5°.

Composição de Funções

Frequentemente na engenharia, você não aplica uma única função, mas uma sequência de transformações. Isso é composição de funções.

Definição: Se f e g são funções, a composição (f ∘ g)(x) é:

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

"Primeiro aplique g a x, depois aplique f ao resultado."

Leitura de Composição

Na expressão f(g(x)):

• g é a função "interna" ou "de dentro"
• f é a função "externa" ou "de fora"
• Você sempre aplica de dentro para fora

Exemplo 6: Filtragem de Sinal

Um engenheiro aplica duas transformações a um sinal x:

1. Primeiro: amplifica por um fator de 2: g(x) = 2x
2. Depois: aplica um filtro não-linear: f(u) = 1/(1 + u²)

A composição é:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = \frac{1}{1 + (2x)^2} = \frac{1}{1 + 4x^2}$

Se x = 0,5:

• g(0,5) = 2(0,5) = 1
• f(1) = 1/(1 + 1) = 0,5
• Logo (f ∘ g)(0,5) = 0,5

Exemplo 7: Deslocamento Temporal

Se uma função f(t) representa posição no tempo, mas o sistema sofre um atraso de τ segundos:

$\text{Sinal atrasado} = f(t - \tau)$

Isso é uma composição com g(t) = t - τ.

Se f(t) = 10 sin(t) e τ = π/4 segundos: $f(t - \pi/4) = 10\sin(t - \pi/4)$

O sinal oscila da mesma forma, mas começa 1/8 de ciclo depois.

Exemplo 8: Onda Modulada

Uma onda portadora é multiplicada por um envelope:

$s(t) = A(t) \cdot \sin(\omega t)$

onde A(t) é a amplitude que varia no tempo.

Se A(t) = e^(-t/τ) (amplitude decai exponencialmente):

$s(t) = e^{-t/\tau} \sin(\omega t)$

Isso é uma multiplicação de funções (um tipo especial de composição em contexto operacional).

Exemplo 9: Pêndulo com Amortecimento

Um pêndulo real não oscila para sempre — o ar e o atrito reduzem a amplitude:

$\theta(t) = \theta_0 e^{-t/\tau} \cos(\omega t + \phi)$

• $\theta_0$: amplitude inicial
• τ: constante de tempo de amortecimento
• ω: frequência angular de oscilação
• φ: fase inicial

Essa é uma composição de:

• Decaimento exponencial: $e^{-t/\tau}$ (envelope)
• Oscilação: $\cos(\omega t + \phi)$ (portadora)

O resultado é uma oscilação cuja amplitude diminui gradualmente.

Identidades Trigonométricas (Referência)

Você não precisa memorizar, mas é bom saber que existem:

Pitagórica: $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$

Soma de ângulos: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Dobro do ângulo: $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$

Resumo

Forma geral de função senoidal: $f(x) = A\sin(B(x - C)) + D$

• A: amplitude
• B: período = 2π/|B|
• C: deslocamento de fase
• D: deslocamento vertical

Composição: (f ∘ g)(x) = f(g(x))

• Aplique g primeiro (de dentro), depois f (de fora)

Ponte para o Próximo Capítulo

Você agora tem uma caixa de ferramentas poderosa: polinômios, racionais, exponenciais, logaritmos, e trigonométricas. Mas funções nem sempre vêm em sua forma "padrão" — frequentemente precisamos transformá-las: deslocar, refletir, esticar. No próximo capítulo, vamos explorar transformações de funções, aprender a reconhecer funções pares e ímpares, e estudar injetividade e sobrejetividade — os alicerces para composição e inversão de funções.